После войны, в 1947 году, в СССР были введены деньги нового образца. И хотя в 1956 году Карело-Финская Советская Социалистическая республика была возвращена в состав РСФСР, и, соответственно, количество ленточек на гербе уменьшилось, год на банкнотах менять не стали.

В том же 1956 году Владимир Игоревич Арнольд поставил задачу о мятом рубле. Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги (рубль) в плоский многоугольник так, чтобы периметр конечного многоугольника был больше периметра исходного прямоугольника?

В 1961 году нашу страну постигла новая реформа денег. Дизайн рублевой банкноты изменился, ее физический размер стал гораздо меньше. К этому времени задача все еще не была решена.

Кроме того что положительный ответ: «Можно», — противоречит интуиции, есть и математические доводы в пользу отрицательного ответа. Если сложить прямоугольник вдоль прямой, то периметр только уменьшится: к уже существовавшей границе прибавляется отрезок той прямой, вдоль которой складывается, а укорачивается граница на ломаную с теми же концами, что и отрезок. Если сделать аналогичную операцию — сложить относительно прямой весь уже получившийся мноугольник, то ситуация будет такая же: периметр увеличивается на длину отрезка, а уменьшается на длину ломаной. Такое складывание — относительно прямой — называется «простым» и всегда только уменьшает периметр. Но это только доводы, но еще не доказательство.

Так можно или нельзя увеличить периметр изначального прямоугольника? В реформах 1991 и 1993 годов рубль образца 61 года был выведен из обращения, а задача В. И. Арнольда так и оставалась нерешенной.

С тех пор один российский рубль — это, к сожалению, настолько мало, что бумажных банкнот такого достоинства уже не выпускают, лишь металлические монеты.

В начале XXI века задача все же была решена. Первое математически строгое решение дал  ученик Николая Петровича Долбилина — Алексей Тарасов. Он предложил алгоритм, как складывать квадрат так, чтобы в итоге получился плоский многоугольник с большим периметром.

Для тех, кто хочет просто любоваться фильмом, следующий абзац можно пропустить. Для желающих понять опишем способ сложения подробно.

Возьмем квадратный лист бумаги и разобьем его на клетки, например, 4х4. Раскрасим  клетки в шахматном порядке в две краски и в каждом квадрате из центра пустим определенное количество лучей. Расставим в красных квадратах зеленые звездочки так, чтобы их размер увеличивался при хождении по спирали. Теперь сложим лист бумаги в полоску, затем в прямоугольник, и в самом конце — в треугольник. Эта слойка устроена следующим образом. Есть несколько синих слоев в одной половине, а в другой половине — красные слои. Способ построения зеленых звездочек был таков, что после проведенного сложения они уменьшаются к середине многослойного треугольника, как бы вложены друг в друга. Начнем сминать слойку так, чтобы синие слои шли выпуклым образом наружу и красно-зеленые слои тоже. Мы получаем поверхность, которая, в конце концов, складывается в плоский многоугольник.

У получившегося многоугольника есть красное основание (синие треугольники находятся там же внутри слойки) и зеленая гребенка. При этом у гребенки иголок столько же, сколько было зеленых звездочек, т.е. красных квадратов.

А увеличился ли периметр относительно изначального квадрата? Решена ли поставленная задача? Если сравнить фигуры, то видно... что периметр сильно уменьшился. Зачем же тогда складывали таким сложным способом?

На конкретном примере был рассмотрен общий алгоритм. И в этом алгоритме есть два параметра — количество клеток в разбиении изначального квадрата и количество лучей в каждом квадрате. Посмотрим, что будет, если менять эти параметры.

При том же разбиении 4х4 будем увеличивать количество лучей внутри каждой клетки. Это приведет к утоньшению иголочек гребенки, их меньшему пересечению и, соответственно, небольшому увеличению периметра.

Есть еще второй параметр — количество клеток разбиения изначального квадрата. Если увеличивать этот параметр, то по построению будет увеличиваться и количество иголок в гребенке.

Совместное увеличение обоих параметров — и количества клеток, и количества лучей в каждой клетке — дает увеличение периметра. Насколько же он может увеличиваться? Оказывается, до бесконечности. А это значит, что в какой-то момент он станет больше, чем периметр изначального квадрата!